タスクの開始日は指定できますか？

タスクの期限は任意で設定出来ますが、「開始日」を設定する機能はありません。

開始日を管理したい場合、代替の機能として「リマインダー」をお使いいただけます。
タスクの最初の作業（チェック項目）にリマインダーを設定することで、開始日を把握できるとともに、当該日時が訪れた際はチェック項目の担当者に通知が送信され、タスクを開始することが出来ます。

その他、「いつからいつまでに対応してほしい」などの情報は、タスクの説明欄やチェックリストのメモ欄、タスクタイトル等に記載すると作業の対応期間も分かりやすくなります。